mathclub.biz

Kök iki sayısı irrasyonel mi

Kök iki irrasyonel olmasaydı rasyonel sayı olurdu.

Bu durumda x ve y tamsayı olmak üzere  

yazılabilirdi.

Şimdi  

  kesrini en sadeleştirilmiş hale getirelim, bu kesir de

olsun.

Dikkat edin burada a ve b tamsayıdır ve ikisi birden aynı anda çift olamaz

çünkü bu bir sadeleştirilmiş kesir, ikisi de çift olsa ikisini de 2'ye bölüp

yine sadeleştirebilirdik,

kesirin en sade hali olduğuna göre demek ki

a ile b'den en az biri tek sayıdır ki daha sadeleştiremiyoruz.

Her iki tarafın karesini alalım

b²'yi eşitliğin diğer tarafına atarsak

2 b² = a²

Bir tamsayının 2 ile çarpımı çift olduğundan 2b² çifttir ve

dolayısıyla ona eşit olan a² de çifttir.

a bir tamsayı ve a² çift olduğunu biliyoruz.

Yalnızca çift tamsayıların karesi çift olduğundan demek ki a çift sayıymış.

a çift sayı olduğundan 2'ye bölünebilir ve dolayısıyla a/2 bir tamsayıdır,

şimdi a/2=c diyelim. Bu durumda a=2c'dir.

Şimdi kaldığımız eşitlikten devam edelim;

2b² = a²

2b² = (2c)²

2b² = 2²c²

2b² = 4c²

2'ler sadeleşirse;

b² = 2c²

elde edilir. b² bir tamsayının iki katına eşit olduğundan çift sayıdır,

b² çift olduğundan b de çift sayıdır.

Sonuç olarak hem a hem de b çift sayı bulundu.

Ama başta ikisinden en az birinin tek sayı olduğunu göstermiştik.

Bu ulaştığımız şey bir çelişkidir. Bu ise başta kabul ettiğimiz şeyin,

doğruluğunun mümkün olmadığını belirtir.

Başta

nin rasyonel olarak yazılabildiğini kabul edip

yola çıkmıştık, ama demek ki kabulümüz imkansızmış ki bizi çelişkilere götürdü.

Öyleyse

rasyonel sayı değildir, bu sebeple irrasyonel sayıdır.

• < Önceki
• Sonraki >