Kök iki sayısı irrasyonel mi
- Kategori: matematiksanat
- Yayınlanma: Perşembe, 16 May 2013 20:05
- gurkanakyildiz
- Gösterim: 2448
Kök iki irrasyonel olmasaydı rasyonel sayı olurdu.
Bu durumda x ve y tamsayı olmak üzere
yazılabilirdi.
Şimdi
kesrini en sadeleştirilmiş hale getirelim, bu kesir de
olsun.
Dikkat edin burada a ve b tamsayıdır ve ikisi birden aynı anda çift olamaz
çünkü bu bir sadeleştirilmiş kesir, ikisi de çift olsa ikisini de 2'ye bölüp
yine sadeleştirebilirdik,
kesirin en sade hali olduğuna göre demek ki
a ile b'den en az biri tek sayıdır ki daha sadeleştiremiyoruz.
Her iki tarafın karesini alalım
b²'yi eşitliğin diğer tarafına atarsak
2 b² = a²
Bir tamsayının 2 ile çarpımı çift olduğundan 2b² çifttir ve
dolayısıyla ona eşit olan a² de çifttir.
a bir tamsayı ve a² çift olduğunu biliyoruz.
Yalnızca çift tamsayıların karesi çift olduğundan demek ki a çift sayıymış.
a çift sayı olduğundan 2'ye bölünebilir ve dolayısıyla a/2 bir tamsayıdır,
şimdi a/2=c diyelim. Bu durumda a=2c'dir.
Şimdi kaldığımız eşitlikten devam edelim;
2b² = a²
2b² = (2c)²
2b² = 2²c²
2b² = 4c²
2'ler sadeleşirse;
b² = 2c²
elde edilir. b² bir tamsayının iki katına eşit olduğundan çift sayıdır,
b² çift olduğundan b de çift sayıdır.
Sonuç olarak hem a hem de b çift sayı bulundu.
Ama başta ikisinden en az birinin tek sayı olduğunu göstermiştik.
Bu ulaştığımız şey bir çelişkidir. Bu ise başta kabul ettiğimiz şeyin,
doğruluğunun mümkün olmadığını belirtir.
Başta
nin rasyonel olarak yazılabildiğini kabul edip
yola çıkmıştık, ama demek ki kabulümüz imkansızmış ki bizi çelişkilere götürdü.
Öyleyse
rasyonel sayı değildir, bu sebeple irrasyonel sayıdır.
