mathclub.biz

Cumartesi, 04 21st

Son GuncellemeSal, 30 May 2017 11am

  • Üye Ol
    *
    *
    *
    *
    *
    *

    Fields marked with an asterisk (*) are required.

Ünlü Paradokslar

Matematik bireysel medeniyetleri ve özel dilleri aşar. O, geniş bir mantık sistemi - bir çeşit kainat dilidir. Matematikçileri eski zamanlardan şu ana kadar zorlayan belirli paradoks ve çelişkiler çıkmıştır. Bazıları yanlış paradokslardır: gerçek çelişkiler sunmazlar ve yalnızca düz mantıksal hilelerdir. Diğerleri matematiğin temellerini bile sarsmışlardır - çözmek için parlak, kreatif matematiksel düşünce gerektiren. Diğerleri bu güne kadar çözülemeden gelmiştir. Burada iki paradoks anlatılacak: Zeno’nun hareket paradoksu ve Cantor tarafından çözülen sonsuz kümeler paradoksu.

Zeno Paradoksu:

Yunanlı filozof Elea’lı Zeno(M.Ö. 495 ila 480 arasında doğmuş) değişik felsefik çevrelerde karşılaştığı, zaman ve uzayın kabul görmüş meseleleri üzerine doğruluklarını sorgulayıcı dört paradoks öne sürmüştür. Onun paradoksları asırlardır matematikçileri şaşırtmıştır, ta ki paradoksların tamamiyle çözülebileceği Cantor’un sonsuz kümeler teorisini geliştirmesine kadar (1860 ve 1870 lerde).
Zeno’nun paradokları matematiğin en derin bir meselesine, soyut ile devamlı arasındaki ilişkiye odaklanıyor. Burada onun meşhur dört paradoksundan ilkini sunacağız. Zeno’nun ilk paradoksu zamanında birçok filozofun kabul ettiği bir fikre saldırmaktadır: uzay sonsuz çoklukta bölünebilir ve bu nedenle hareket devamlıdır.

Paradoks 1 (Hareketsiz koşucu):
Bir koşucu belirli bir mesafeyi -diyelim 100 metre- verilen sınırlı bir zamanda koşacak. Ama 100 metre bayrağına ulaşmak için önce 50 metre bayrağına varmalı ve buna ulaşmak için önce 25 metre bayrağına varmalı. Ama yine buna ulaşmak için önce 12.5 metre bayrağına varmalı.
Uzay sonsuz çoklukta bölünebildiğine göre bu aşamalar sonsuza kadar tekrar edebilir. Yani koşucu sınırlı bir zamanda sonsuz sayıda orta noktaya ulaşmak zorunda. Bu mümkün olmadığına göre, koşucu hedefine varamayacaktır. Genelde, bir noktadan diğerine gitmek isteyen kimse bu koşulları sağlamalıdır, ve böylece hareket imkansız olacaktır ve hareket olarak algıladığımız şey sadece bir illüzyondur.
Düşünce nerede koptu? Neden?

Sonsuz Kümeler:
Tamsayılar mı, çift tamsayılar mı daha fazladır?
Kolay bir soru gibi görünüyor, öyle mi? Herşeyden öte, her çift tamsayı bir tamsayıdır ama tüm çift sayılar için ne demeli? Yani çift tamsayılardan daha fazla tamsayı vardır, doğru mu? Fakat bekleyin bir dakika. Kaç tane çift tamsayı vardır? Sonsuz sayıda. Peki kaç tane tamsayı vardır? Yine sonsuz sayıda. Hmmmmm…
“Sonsuz” diyor A öğrencisi, ” sadece bir terimdir… gerçekte bana her birinden aynı sayıda olduğunu göstermenin yolu yoktur.”

Tamam, bir oyun oynayalım…” diyor öğrenci B. “Bana bir tamsayı söyle, ben de sana karşılığında bir çift sayı söyleyeceğim. Ve senin sayıların farklı olursa, benim söylediklerimin de farklı olacağını garanti ederim.”

Matematik ögrencisi A: Tamam…1
Matematik öğrencisi B: 2
A: 2
B: 4
A: 18
B: 36
A: -100
B: -200
A: n
B: 2n
A: Ne demek istediğini anlamaya başlıyorum. Matematik sınıfında öğrendiğimiz küme teorisinin bir kısmını düşünelim. Çift sayılar kümesi tamsayılar kümesinin içinde yer alıyor ama bu kümeye eşit değil. Böylece bu iki küme eşit olamaz.

(Kim doğru? Öğretmen sınıfta tahtaya ne tür kümeler yazdı? Bu kümelerin birbirlerinden farkı ne?)

Yukarıdaki problemle karakterize edilen paradoks, asırlarca matematikçileri şaşırtmıştır. Kalbinde tüm matematiğe dadanan tehlikeli kavram yatmaktadır: sonsuzluk. 1874 de Georg Cantor, ilk ve son kez problemi çözen sonsuzluk dereceleri sistemi üzerine çalıştı ve matematikçilerin sonsuzluk ve küme teorisi anlayışlarını büyük ölçüde artırdı.


Cantor’un Çözümü: Sayılamamazlık

Önceki örnekte öğrenci B, aşağıdaki gibi bir eşleşme oluşturacak şekilde, tüm sayıları iki katıyla eşleştirdi:
…-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5…
..-10, -8, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, 10..
Tamsayılar şu şekilde doğal sayılarla bire bir eşlenebilir:
1, 2, 3, 4, 5,…
0, -1, 1, -2, 2,…
Şimdi, Cantor şu tanımı yapmıştır:

Tanım: İki küme, eğer elemanları arasında bire bir eşleme yapılabiliyorsa, büyüklükte (boyutta) eşittirler. Bunun anlamı doğal sayılar, tamsayılar ve çift sayılar kümeleri hep ‘aynı sayıda’ elemana sahiptir. Cantor doğal sayıların sayısını sınırlıdönüşüm (transfinite) sayısı olan No ile gösterdi. Gösterim kolaylığı açısından, doğal sayılar kümesi ( ve eş büyüklükteki tüm kümeler) genelde sayılamaz (denumerable) dendiği için, bu sayıyı d ile göstereceğiz. Bir küme sayılamazdır ancak ve ancak sonsuz bir dizi {a1, a2, a3…} olarak yazılabiliyorsa. Bu durumda a1 terimi 1 sayısına, a2 2 ye, vb eşleşir.

Kümelerin büyüklüklerini gösteren sayılara kardinal sayılar denir. Sınırlı kümeler için kardinal sayılar doğal sayılardır. Eğer büyüklüğü X olan bir kümenin Y büyüklüğe sahip bir öz alt kümesi (kendisine eşit olmayan alt kümesi) varsa, ama Y büyüklüğe sahip bir kümenin X büyüklüğünde bir öz alt kümesi yoksa, X kardinal sayısı Y kardinal sayısından büyüktür denir. Herhangi sonsuz bir kümenin, {a1, a2, a3…}gibi sonsuz bir alt kümesi olacağından, en küçük sınırlıdönüşüm (transfinite) sayısı d dir.

 
Teorem: Rasyonel sayılar kümesi sayılamazdır, yani d kardinal sayısına sahiptir.

İlk bakışta, rasyonel sayıların doğal sayılardan ‘daha’ fazla olduğu düşünülür, çünkü herhangi farklı iki rasyonel sayı arasında sonsuz tane rasyonel sayı vardır. Bu doğal sayılar için doğru değildir. Bununla birlikte, Cantor yukarıdaki teoremi şu şekilde ispatladı:

d sayısı en küçük sınırlıdönüşüm (transfinite) sayısı olduğundan, sadece rasyonel sayıları içeren bir kümenin sayılamaz olduğunu ispatlamak yeterlidir. Yani, rasyonel sayılar kümesi sonsuz bir kümedir, böylece büyüklüğü d olur ve kendini kapsayan bir kümenin büyüklüğünden daha büyük olamaz. Şu kümeyi ele alalım:

VVF
Bu küme rasyonelleri içeriyor (çoğunu birden fazla). Şimdi, bu kümeyi şu şekilde sıralayalım:
FDS
Sayılamaz {1, 2, 1/2, 1/3, 2/2, 3…} kümesi elde edilir.
Şimdisıfırla başlayıp her sayının negatifini de katarak aşağıdaki kümeyi bulalım:
{0, 1, -1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3, 2/2, -2/2, 3, -3…}
Böylelikle rasyonelleri içeren bir küme, doğal sayılarla sistematik bire-bir eşlemeye sokuldu.
SD

İletişim

  • Tel: (535) 252 03 64
Buradasınız: ANASAYFA Matematik Sanatı Ünlü Paradokslar
BLOG COMMENTS POWERED BY DISQUS